시스템법칙(Thinking in Systems) 안내서 (10) 두 개의 저량이 만날 때 (두 번째)

 그럼 이제 2편, “수식으로 읽는 [수정된 그림 37]” 을 다루겠습니다. 

1. 두 저량을 지키는 기본 방정식


[수정된 그림 37]의 뼈대는 두 개의 저량입니다.

  • 자본(capital)
  • 자원(resource)

두 저량의 수식은 모두 같은 문법을 따릅니다.

저량(t) = 저량(t–dt) + (유입 – 유출) × dt

  • 자본(t) = 자본(t - dt) + (투자 - 감가_상각) × dt 
  • 자원(t) = 자원(t - dt) + ( - 자원_추출 ) × dt
  • 자본의 흐름(flow): 투자(유입) 와 감가_상각(유출)
  • 자원의 흐름(flow): 자원_추출(유출)

여기서 확인할 수 있는 기본 원칙은 두 가지입니다.

  1. 저량은 항상 흐름의 적분(누적)으로만 바뀐다.
    자본이 늘거나 줄려면 반드시 투자·감가상각을 거쳐야 하고, 자원이 줄려면 반드시 자원_추출을 거친다.

  2. 단위 일관성

    • 자본: capital
    • 투자, 감가_상각: capital/year
    • 자원: resource
    • 자원_추출: resource/year

이 기본기를 지켜 놓아야 이후의 모든 함수와 루프 분석이 흔들리지 않습니다.

2. 흐름(flow) 수식 ① 감가상각과 자원 추출

2.1 감가_상각 = 자본 / 자본재_수명

감가_상각 = 자본 / 자본재_수명

  • 자본재_수명(예: 20년)을 기준으로, 자본이 매년 일정 비율만큼 줄어든다고 보는 선형 감가상각입니다.
  • 단위로 보면 capital ÷ year = capital/year.

이 한 줄의 수식이 “가만히 있어도 자본은 낡는다”는 사실을 모델에 심어 줍니다. R1·R2가 자본을 키우려 할 때, 감가상각은 반대 방향으로 자본을 깎아 먹습니다.

2.2 자원_추출 = 자본 × 기준 전환율 × 추출 계수

자원_추출
 = 자본 × "자본당_자원_추출_요구율_(기준_전환율)" × 자원_보존량에_따른_단위_자본_추출비율

여기서는 “속도 × 저량” 패턴이 잘 드러납니다.

  • "자본당_자원_추출_요구율_(기준_전환율)"

    • 자원이 충분할 때, 자본 1단위가 1년에 요구·처리하려는 기준 자원량
    • 단위: resource/(capital·year)

  • 자원_보존량에_따른_단위_자본_추출비율

    • 자원_감소비율이라는 상태지표를 입력으로 받아, 기준 전환율을 몇 배로 볼지 알려 주는 무차원 배율(조정계수)입니다. 
    • 자원이 넉넉할 때는 1에 가깝고, 자원이 고갈될수록 1보다 작은 값으로 내려갑니다.

그래서 자원_추출은 이렇게 읽을 수 있습니다.

자본 규모 × (자본 1단위 기준 요구량) × (자원이 허용하는 추출 비율)

이 식은 루프 관점에서,

  • 자본이 늘면 추출이 늘어나는 성장 루프 R1,
  • 자원이 줄면 추출 능력이 떨어지는 균형 루프 B1

을 동시에 구현합니다.

3. 흐름 수식 ② 매출, 수익, 투자

3.1 매출 = 자원_추출 × 자원_단위당_가격

자원을 얼마나 캐느냐(자원_추출)와 자원 1단위가 얼마에 팔리느냐(자원_단위당_가격)의 곱입니다. 여기서 자원_단위당_가격이 나중에 희소성 프리미엄 루프 R2의 핵심이 됩니다.

3.2 수익 = 매출 – 자본_유지비

자본_유지비 = 자본 × 자본_유지비율
수익 = 매출 - 자본_유지비

  • 자본이 커질수록 유지비도 비례해서 커집니다.
  • 매출에서 이 유지비를 빼고 남는 것이 수익입니다.

그래서 자본 증가 → 유지비 증가 → 수익 감소 → 투자 여력 감소라는 균형 루프 B2(자본 유지비 루프)가 만들어집니다. 자본이 무한히 커지지 못하도록 잡아주는 장치입니다.

3.3 투자 = MIN(수익, 자본 × 목표_자본_성장률)

여기서 드디어 MIN 함수가 등장합니다.

  • 첫 번째 항(수익): “실제로 투자에 쓸 수 있는 돈” – 재무적 한계
  • 두 번째 항(자본 × 목표_자본_성장률): “이 정도 속도로 성장하고 싶다”는 성장 목표

MIN(A, B)는 둘 중 더 작은 값만 허용합니다.

  • 수익이 부족하면: “돈이 없어서” 목표만큼 투자 못 함.
  • 수익이 너무 많아도: “목표 이상으로는 성장하지 않겠다”는 선택을 반영.

따라서 이 식은 단순한 산술이 아니라, “버는 만큼”과 “원하는 만큼” 사이에서 현실과 목표가 타협하는 규칙을 모델에 심어 놓은 것입니다. 루프 관점에서 보면, 투자 방정식이 R1·R2(성장 압력)와 B2(유지비 부담) 사이의 균형점을 결정합니다.

4. 비선형 구조 만들기: 자원_감소비율과 GRAPH 함수

이제 [수정된 그림 37]의 가장 중요한 기술적 특징인 비선형 함수를 살펴보겠습니다.

4.1 자원_감소비율 = 자원 / INIT(자원)

  • 분모 INIT(자원)은 초기 자원량(고정값)
  • 분자 자원은 시간이 지나며 줄어드는 저량

그래서 이 비율은

  • 처음에는 1,
  • 시간이 지나며 0을 향해 내려갑니다.

이 한 숫자가 자연의 상태를 0~1 사이의 한 값으로 요약해 주는 상태지표입니다. 이 상태지표를 두 개의 GRAPH 함수의 가로축(입력값)으로 사용해, 자원 고갈이 생산성과 가격에 어떤 형태로 반영될지를 설계합니다.

4.2 자원_보존량에_따른_단위_자본_추출비율 = GRAPH(자원_감소비율)

  • x축: 자원_감소비율(0~1)
  • y축: 0~1 사이의 무차원 계수

GRAPH 함수는 복잡한 수식을 쓰는 대신 “자원_감소비율이 얼마일 때 자본 1단위의 추출능력을 몇 배로 볼 것인가”를 미리 적어 둔 비교표라고 볼 수 있습니다. 자원이 충분할 때(1에 가까울 때)는 배율이 1에 가깝고, 자원이 줄어들수록 서서히, 혹은 어느 시점 이후 급격히 떨어지는 형태로 설정할 수 있습니다.

이 계수가 자본당 실제 추출능력을 조정하므로, 자원이 줄어들수록 자본 1단위가 처리할 수 있는 자원량이 줄어들고, 이는 곧 자원_추출 감소 → 매출·수익·투자 둔화로 이어져  균형 루프 B1(자원 고갈 루프)를 형성합니다.

4.3 자원_단위당_가격 = 기준_가격 × GRAPH(추출 계수)

"자원_단위당_가격_지수(비율)" = GRAPH(자원_보존량에_따른_단위_자본_추출비율)
자원_단위당_가격 = "자원_단위당_기준_가격_(기준_전환율)"× "자원_단위당_가격_지수(비율)"

여기서도 “기준값 × 배율(지수)” 패턴이 반복됩니다.

  • 기준 가격: 자원이 넉넉할 때의 평상시 가격 (단위: capital/resource)
  • "자원_단위당_가격_지수(비율)": 추출 계수를 입력으로 받아 기준 가격을 몇 배로 볼지 결정하는 무차원 배율입니다.

그래프는 대략

  • 자원이 넉넉할 때: 가격_지수 ≈ 1 (기준 가격과 거의 동일)
  • 자원이 희소해질수록: 가격_지수 > 1, 점점 더 커져 기준 가격의 몇 배로 상승

이를 루프로 따라가면, 자원 감소 → 가격_지수 증가 → 자원_단위당_가격 상승→ 같은 양을 캐도 매출·수익 증가 → 투자·자본 증가→ 자원_추출 증가 → 자원 감소 심화가 됩니다. 이것이 강화 루프 R2(희소성 프리미엄 루프)의 수식적 구현입니다.

정리하면, 자원_감소비율이라는 상태지표가 GRAPH 비교표에 들어가고, 여기서 읽힌 배율(추출능력 배율, 가격 배율)이 기준 전환율과 기준 가격에 곱해지면서 자원 고갈이 생산성과 가격에 비선형적으로 반영됩니다.

5. 수치보다 구조: 정책 변수와 구조 변수

마지막으로, 이 모델에서 무엇이 정책 변수이고, 무엇이 구조 변수인지를 정리해 두면 시나리오 실험에 도움이 됩니다.

5.1 정책 변수(사람이 조정할 수 있는 것)

  • 목표_자본_성장률 : 성장 지향 정도
  • 자본_유지비율 : 자본을 얼마나 “비싼 방식”으로 운영하는가
  • "자본당_자원_추출_요구율_(기준_전환율)" : 기술 수준·에너지 효율 등
  • "자원_단위당_기준_가격_(기준_전환율)" : 초기 시장 가격 수준

이 값들을 바꾸면 그래프의 스케일(높이·속도)가 달라집니다.

5.2 구조 변수(세계의 구조를 정하는 것)

  • 자본재_수명 : 자본이 얼마나 빨리 낡는가

    • 두 GRAPH 함수의 모양

      자원 고갈이 어느 시점부터 추출능력을 급격히 떨어뜨리는지
    • 희소성이 가격에 얼마나 민감하게 반영되는지
  • 이들은 그래프의 모양(패턴) 자체를 바꿉니다.

즉 “언제, 어떤 방식으로 성장곡선이 꺾이는가?”를 결정합니다.

6. 정리 및 다음 글 예고

이번 2편에서는 [수정된 그림 37]을 수식과 모델링 원칙의 관점으로 다시 읽어보았습니다.

  • 자본·자원 두 저량을 지키는 stock–flow 방정식
  • 감가_상각, 자원_추출, 매출, 수익, 투자가 네 개의 루프(R1, B1, R2, B2)를 어떻게 닫는지 
  • MIN과 두 개의 GRAPH 함수가 의사결정 규칙과 비선형 구조를 어떻게 구현하는지

를 살펴본 셈입니다.

다음 3편에서는 드디어 시나리오와 시뮬레이션 결과 그래프를 다루겠습니다.

  • 목표_자본_성장률을 바꿨을 때,
  • 자본_유지비율이나 GRAPH 함수 모양을 바꿨을 때,
  • 자본과 자원이 시간에 따라 어떤 궤적을 그리는지,

그래서, “성장은 언제, 어떤 방식으로 멈추는가?”를 함께 읽어보겠습니다.

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