Andrew Ford 헌정 강의: 『Modeling the Environment』 Chapter 3 - 연습 문제 5 “Biflow? 양방향 흐름에 대한 방정식을 세워 보자”

문제 요약

Exercise 3.5에서는 그림 3.12의 “biflow(양방향 유량)”를 다룹니다.

• 양방향(flow with two arrowheads)이란, 유량이 “플러스 방향(증가)”일 수도, “마이너스 방향(감소)”일 수도 있음을 나타내죠.
• 흰색(비음영) 화살표: 성장(growth)이 양수일 때, 인구(population)가 증가
• 검은색 화살표: 성장(growth)이 음수일 때, 인구(population)가 감소

문제의 요구사항은: “Growth(성장) 유량에 대한 방정식을 작성하라.”
즉, $\text{growth}=?$

1. 직관적 이해

일반적으로 인구가 증가하는 이유는 출생률(birth rate) 때문이고, 인구가 감소하는 이유는 사망률(death rate) 때문입니다.

• “유량”이라는 관점에서 성장(growth)은
  $$\text{growth}=(\text{births})-(\text{deaths})$$
• 하지만 이 문제에서는 birth rate와 death rate가 각각 인구 규모에 곱해진 결과로 해석됩니다.

만약 인구가 $\text{population이라는 저량([P])이라면,}$

• 출생(births) = $\text{birth rate} \times \text{population}$ 
• 사망(deaths) = $\text{death rate} \times \text{population}$ 

따라서 net growth(순증가)는

growth=(birth rate) × population − (death rate) × population.  

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2. 방정식 형태

간단히 묶어 쓰면:
(birth rate−death rate)×population.

이 식은 “$\text{birth rate}-\text{death rate}$”가 양수이면 유량이 양 방향, 음수이면 유량이 음 방향이 됨을 의미합니다.

• 그 결과, 실제 계산된 $\text{growth}$가 양수면 실제 저량(인구)이 증가하고, 음수면 감소하게 되죠.

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3. 각 변수의 단위

• population(저량): $[P]$ (예: 만 명, 혹은 “million persons”)
• birth rate: $[1\mathrm{/}T]$death rate: $[1\mathrm{/}T]$
• • (시간 단위 [T]는 연(year), 달(month), 등 모델 설정에 따라 달라질 수 있음)
• growth(유량): $[P]\mathrm{/}[T].$

방정식 $\text{growth}=(\text{birth rate}-\text{death rate})\times \text{population}$에서,

• $\text{birth rate}-\text{death rate}$의 단위 = $[1\mathrm{/}T]$
• $\text{population}$의 단위 = $[P]$
• 따라서 $\text{growth}$의 단위 = $[P]\mathrm{/}[T]$

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4. 결론

문제에서 요구하는 식은:

$$\boxed{{\displaystyle \text{growth}=(\text{birth rate}-\text{death rate})\times \text{population}\mathrm{.}}}$$

이 식으로 인해, growth 값이 양수면 인구가 늘어나고, 음수면 인구가 줄어드는 “biflow”가 구현됩니다.
즉, birth rate와 death rate 차이에 따라 인구가 증가·감소할 수 있게 되는 것이죠.

이것이 Exercise 3.5가 말하는 “biflow” 방정식의 핵심입니다!

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요약

• 이중 화살표(biflow)는 “증가도, 감소도 가능한 유량”을 의미한다.
• 인구 모델에서, growth = ($birt\mathrm{h }rate$ − $deat\mathrm{h }rate$) × $population$
• 양수가 되면 인구가 증가(흰 화살표 방향), 음수가 되면 인구가 감소(검은 화살표 방향).
• 단위:
  • $\text{growth}$ : $[P]\mathrm{/}[T]$
  • $\text{population}$: $[P]$
  • $\text{birth rate}$, $\text{death rate}$: $[1\mathrm{/}T]$