Andrew Ford 헌정 강의: 『Modeling the Environment』 Chapter 3: 인구 변화 공식, 왜 “e”가 등장할까?
인구 변화 공식, 왜 “e”가 등장할까?
1. 문제 상황: 인구가 계속해서 일정 비율로 늘어난다면?
p.34 에 다음 내용이 나옵니다.
Table 3.1 The model in figure 3.1 represented as a first-order differential equation.
let t = time
let P = population
let P0 = initial population
let b = births
let d = deaths
let br = birth rate
let dr = death rate
let t = growth rate = br - dr, then dP/dt = b - d = brP - drP
so:
dP/dt = (br - dr)P = rP
P(t) = P0e^(rt)
“dP/dt = rP”라는 식은, “인구(P)가 시시각각 늘어나는 속도(dP/dt)가 현재 인구(P)의 r배”라는 이야기입니다. 이렇게 표현할 수도 있습니다. 시간의 변화(dt)에 해당하는인구의 변화(dP)는 현재 인구(P)의 r배라는 의미입니다.
- 예를 들어, r = 0.03이면 “현재 인구의 3%가 매년 새로 태어난다”는 뜻과 비슷하죠.
- 이 방정식을 풀면 “P(t) = P₀·e^(r·t)”라는 해가 나오는데, 갑자기 e(자연상수)라는 기호가 튀어나와서 당황스러울 수 있습니다.
“아니, 인구가 자라나는 모델이랑 ‘e = 2.7182818…’이 무슨 상관이야?”라고 의문이 생길 텐데요. 바로 연속적으로 조금씩, 그런데 ‘계속’ 증가하는 구조를 수학적으로 풀어내면, ‘e’가 자연스럽게 등장하기 때문입니다.
2. 왜 하필 ‘e’일까? (문과식 비유)
단계별 증가(단순 예시)
- 만약 인구가 1년에 한 번씩, “작년 인구 × r”만큼 증가한다면, “일정 간격으로 증가”하는 모습을 떠올릴 수 있죠.
- 예: “매년 3%씩 한 번에 팍 늘어난다” → 1년 뒤에는 P₀(1 + r), 2년 뒤에는 P₀(1 + r)², 3년 뒤에는 P₀(1 + r)³ … 이런 식입니다.
아주 자주 쪼개서 증가(연속 성장)
- 그러나 현실 세계에서는, 인구가 1년에 한 번 딱 정산되듯 늘어나는 게 아니라, 매 순간 조금씩 늘어납니다.
- 시간이 아주 작은 단위로 잘게 쪼개질수록, “(1 + r/n)^n” 형태로 표현되는데, n이 무한히 커지면 이 값이 e^(r)에 가까워집니다.
- 바로 이 과정에서 등장하는 게 자연상수 e(약 2.718)입니다.
- 은행 이자 예시로도 자주 나오는데, “연 10% 이자를 매년 한 번에 주는 경우” vs. “일(1/365) 단위로 쪼개 이자를 계속 주는 경우”를 비교하면, 쪼갤수록 최종 금액이 살짝 더 많아지는데, 그 ‘무한 쪼개기’의 한계가 바로 e^(r) 형태로 귀결된다고 보시면 됩니다.
3. 수학적으로는 어떻게 나오는 건가요?
미분방정식 dP/dt = rP
- 이 말은 “인구(P)가 증가하는 속도(dP/dt)가 현재 인구(P)의 r배”라는 의미.
- 언뜻, 시간에 따라 P가 바뀌는데, 그 바뀌는 속도도 P에 비례…? 이런 식의 ‘연속적 변화’가 바로 e를 불러들입니다.
직접 적분(미분방정식을 푸는) 방법
- 교과서적으로는 분리해 적분이라는 방식으로 풉니다.
- “dP/dt = rP” → “dP/P = r dt” → 양변을 적분하면 “ln(P) = r·t + C” → “P(t) = e^(r·t + C) = e^C·e^(r·t).”
- 초기값 P(0) = P₀를 대입해 보면, e^C가 P₀가 되어 결국 “P(t) = P₀·e^(r·t).”
직관적 이해
- 계속해서 “현재 인구의 r배”만큼 증가한다면, 그 증가의 축적 효과가 “기하급수적(=지수적)”으로 나타납니다.
- “e^(r·t)” 식은 “연속 복리”나 “연속적 증가” 상황에서 반드시 등장하는 대표적 함수라는 것을 수학자들이 증명해 왔어요.
4. “e”는 어떤 상수인가?
약 2.718
- π(파이)가 약 3.14159… 인 것처럼, e는 약 2.71828… 끝없이 계속되는 무리수입니다.
- “(1 + 1/n)^n”을 n이 무한대로 갈 때의 극한이라고도 자주 정의하죠.
연속적인 성장, 연속적 복리
- 앞서 말했듯, “연 3% 이자”를 1년에 한 번 주면 “1.03”배가 되지만, 이를 365일로 나누어 조금씩 계산하면, 최종적으로 더 많이 모입니다. n을 무한히 쪼개면 결과는 “e^0.03”이 되죠.
- 이 원리가 “인구가 매순간 조금씩 증가”할 때, 수학적으로 e^(r·t) 꼴을 낳는 이유이기도 합니다.
5. 그래서, P(t) = P₀·e^(r·t)는 어떤 의미?
- 초기값 P₀: t = 0일 때 인구.
- e^(r·t): 시간이 흐름에 따라 인구가 기하급수적으로 늘어남을 나타내는 지수함수.
- 만약 r = 0.07(즉 7%)이면, 약 10년 후 인구는 P₀·e^(0.07×10) ≈ P₀ × 2.01이 됩니다. (약 2배)
- t가 커질수록 e^(r·t)는 훨씬 더 가파르게 증가하니, “장기적으로 보면 작게 보이던 r이 엄청난 차이를 만든다”가 이 공식의 핵심 메시지입니다.
6. 문과식 정리: “무한히 자주 이자를 주는 은행” 또는 “계속 자라는 생명체”
- 문과스러운 비유로, “이자”를 1년에 한 번 주면 “(1 + r)”배, 1/n년마다 주면 “(1 + r/n)ⁿ”, n을 무한히 키우면 “e^(r)”.
- 인구도 마찬가지로, “적당히 한 번씩 확 늘어나는 게 아니라 매 순간 조금씩, 연속적으로 늘어난다면, 최종 결과는 e^(r·t) 형태.”
- 즉, 연속성(continuously), 지금도 조금씩 확장되는 시스템을 수학적으로 표현할 때 e는 “너무나도 자연스러운 귀결”입니다.
7. 마무리: “e가 괜히 ‘자연상수’가 아니다!”
많은 분들이 “e는 어디서 갑자기 튀어나왔어?”라고 의아해하시는데,
사실 ‘계속해서 이어지는 변화’를 조금씩 쪼개서 합산해 보면, 그 극한이 e^(x) 형태가 된다는 게 이 방정식의 핵심입니다.
- dP/dt = rP → “계속해서 자기 자신에 비례해 증가” → 수학적으로 지수함수(e^(r·t))가 해답
- e는 “연속적 복리(또는 연속적 성장)”의 자연스러운 언어
따라서, 문과분들도 굳이 복잡한 적분 공식을 외울 필요 없이,
“계속해서 지금의 일정 비율만큼 더 늘어나면, 결국 e^(r·t) 법칙을 따른다”고 이해하시면 충분합니다.
이 원리는 은행 이자, 인구 증가, 박테리아 증식, 방사능 붕괴(감소) 등등, 온갖 자연·사회 현상에 적용되는 아주 보편적인 패턴이랍니다.
요약
- dP/dt = rP는 “현재값에 비례해 변화한다”는 뜻 → 지수함수 해답 등장
- e(약 2.718)는 “연속 복리, 연속 성장” 문제에서 자연스럽게 나타나는 상수
- P(t) = P₀·e^(r·t): 인구(또는 어떤 집단)의 초기값이 P₀일 때, 시간 t가 지날수록 지수적으로 성장
- 문과식 결론: “‘계속 조금씩’ 증가하면 e의 세상”이라고 기억하시면 됩니다.
“아, 그래서 P(t) = P₀·e^(r·t)가 되는구나!”라고 이해하시면, 더는 미적분이 두렵지 않을 거예요.
추가 참고
- 자연상수 e는 무리수 중에서도 굉장히 중요한 수학적 의미를 갖습니다(로그, 지수, 미분 등).
- 이 공식이 실제 현실에서 얼마나 잘 들어맞는지는 별개의 문제지만, “인구가 특정 비율(r)로 계속 성장한다”는 이상적 가정을 했을 때는, e가 필연적으로 등장한다는 점이 수학의 놀라운 특징이죠.
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