시스템법칙(Thinking in Systems) 안내서 (7) - 욕조 모델의 세계관 - 저량과 유량의 피드백 3탄

시스템법칙(Thinking in Systems) 안내서 (7) - 욕조 모델의 세계관 - 저량과 유량의 피드백 3탄

앞으로 들어오고 뒤로 새는 피드백 1탄

목표를 향해 움직이는 균형 피드백은 다양한 이야기를 품고 있습니다. 난방 시스템은 대표적으로 우리가 원하는 목표 수준(desired level)에 맞춰 움직이는 균형 피드백 시스템입니다. 실내 온도가 목표 온도보다 낮을 때 난방 시스템은 실내 온도가 서서히 올릴 것입니다. 그런데 말입니다. 난방이나 냉방 시스템에는 불청객 같은 의도하지 않은 목표가 존재합니다. 그것은 바로 뒤로 실외 온도입니다. 실내 온도가 실외 온도 보다 높으면 어떻게 되겠습니까? 온도가 내려갈 겁니다. 그러면 얼마나, 몇 도까지 내려갈까요? 바로 실외 온도까지 내려가려고 할 겁니다. 맞습니다. 이 경우에 실외 온도가 목표와 같은 역할을 하는 겁니다. 그렇다면 목표 온도에 맞춰서 열을 올리는 난방 시스템 덕분에 열이 들어오지만, 실외 온도 때문에 열은 빠져나갑니다. 이번 글의 제목처럼 말이죠. 

다음 시뮬레이터에서 여러 가지를 조정해 보면서 실내 온도가 어떻게 변하는지 확인해 보십시오. 다양하게 선택할 수 있습니다. 실외 온도를 고정된 값으로 선택할 수 있지만, 실제 온도처럼 24시간 동안 시시각각 달라지는 상황도 선택할 수 있습니다. 

시스템법칙 p78. [그림 15]

작동이 안 되면 다음 링크를 클릭해 주세요.

https://exchange.iseesystems.com/public/benjaminckchung/thinking-in-systems-figure05/index.html

그런데, 이상하지 않나요? 실내 온도가 목표 온도와 만나지 않습니다. 왜 그럴까요? 바로 제목처럼 난방 열이 앞으로 들어오고 뒤로 새기 때문입니다. 시간을 잘게 쪼개서 살펴볼까요? 먼저 목표 온도와 실내 온도의 차이가 계산됩니다. 이 차이만큼 보일러에서 열이 들어옵니다. 이야기가 여기까지라면 목표 온도에 도달하는 것은 시간문제입니다. 하지만, 보일러에서 열이 실내로 들어오는 동시에 열이 빠져나갑니다. 열이 빠져나가는 과정에서도 “차이”는 계속 나타나고 이 차이만큼 열이 들어옵니다. 그런데 열이 들어올 때 빠져나가는 열도 있습니다. 실내 온도 입장에서 보면(^^) 미치고 환장할 노릇일 겁니다. 해도 해도 목표에 도달할 수 없으니 말입니다. 

만약, 보일러 성능에 따라 열이 빨리 또는 더 늦게 들어온다면? 만약, 단열 성능에 따라 열이 새 나가는 것이 빠른 경우, 느린 경우를 고려하면 어떻게 될까요? 좌측에 있는 난방 효과? 단열 효과 버튼을 클릭해 보세요. 

- 아래 내용이 어려우면 넘겨도 되는 고급 개념입니다. 도전하셔도 되고, 안 하셔도 됩니다. 

스트레스받지 마세요 - 

난방 시스템의 성능이 얼마나 빨리 따뜻해지는지로 설명할 수 있지 않을까요? 따라서, 난방 시스템의 성능은 보일러의 수도꼭지를 틀었을 때 단위 시간당 얼마나 많은 물(온도 추가분)이 욕조(실내 온도)로 들어가는지로 설명할 수 있습니다. 즉, 히터 반응 시간으로 결정할 수 있지 않을까요? 히터 반응 시간이 길면 방 온도는 서서히 올라갈 것이고, 그 결과 목표 온도와의 차이는 서서히 줄어들 겁니다. 반대로, 히터 반응 시간이 짧다면 방 온도는 빨리 올라갈 것이고, 그 결과 목표 온도와의 차이는 빨리 줄어들 겁니다. 그래서 난방 시스템의 성능은 반응 시간으로 판가름할 수 있습니다. [Hour]라는 단위를 사용하는 시간을 [℃]라는 단위를 사용하는 목표 온도와의 차이(목표 온도 - 실내 온도)를 나누면 유입량인 보일러에서 들어오는 열(Inflow)이 되고 그 단위는 [℃/Hour]가 됩니다. 

이제 위 시뮬레이션에서 난방 효과? 단열 효과 버튼을 클릭해서 난방 성능을 바꿔가면서 결과를 비교해 보세요. 

이번에는 단열재 성능으로 넘어가 보겠습니다. 

단열재의 성능은 얼마나 빨리 열 손실이 일어나는지로 설명할 수 있지 않을까요? 따라서, 단열 성능은 단위 시간당 얼마나 많은 물(열 손실분)이 욕조에서 빠져나가는지로 설명할 수 있습니다. 바꿔 말하면 얼마나 오래 실내에 머무는지가 단열 성능 지표가 될 수 있습니다.  

요 대목에서 새로운 개념을 만나게 됩니다. 시스템다이내믹스 모델링에서는 유출량(Outflow)이 저량(Stock)의 영향을 받아서 일정 비율로 발생하는 경우 이 ‘일정 비율’이라는 개념을 두 가지로 표현합니다. 하나는 사망 비율(death fraction)과 같이 비율로 설명하는 방식입니다. 감가 상각률도 같은 맥락입니다. 또 하나는 평균 수명(everage lifetime)과 같이 시간으로 표현하는 방식입니다. 이 두 가지 방식은 동전의 양면과 같은 개념입니다. 평균 수명의 역수가 사망 비율이고, 사망 비율의 역수가 평균 수명이니까요. 예를 들어 평균 수명이 80년이라면 사망율은 1/80 = 0.0125 (1.25%)가 됩니다. 이 맥락에서 평균 수명의 단위는 [Year]이고, 사망률의 단위는 [1/Year]입니다.  한 번 더 깊게 들어가겠습니다. 평균 수명의 본질은 저량(Stock)에 체류하는 시간입니다. 평균 수명이 80년이라면 80년 동안 총인구라는 저량(Stock)에 걸쳐있다는 뜻입니다. 그런데, 80년이 지나면 하나도 남지 않아야 합니다. 이 논리를 컴퓨터는 아주 끔찍한 방식으로 계산합니다. 80년 동안 일 년에 1/80씩 감소하는 방식입니다. 내년 1/80씩 80년 동안 빠져나가면 80년이 지나면 하나도 남지 않게 됩니다. 왜 끔찍하다는 상상을 했을까요? ㅎㅎ 생각해 보세요. 사람의 몸이 매년 1/80씩 잘려 나간다고 생각해 보세요. 생명이 유지된 채 말이죠. 그래서 평균 수명과 사망률은 본질적으로 같은 개념이라고 보는 것입니다. 그러면 총인구가 100명이고 평균 수명이 80년이라면 매년 몇 명이 사라진다고 계산한다는 건가요? 맞습니다. 100 x 1/80 = 100/80 씩 매년 죽는다고 계산하는 겁니다. 단위는 [명/Year]가 됩니다. 1년에 몇 명으로 말이죠. 

이제 단열재 성능으로 돌아가겠습니다. 단열 성능을 시간으로 평가할 수 있을까요? 얼마나 오래 열이 실내에 머무르는지로 판가름할 수 있다면 이 열 체류 시간이 바로 평균 수명과 같은 개념이 되는 겁니다. 단열 성능이 좋아서 10시간이라고 설정하면 매시간 1/10씩 빠져나가는 성능이라는 뜻이고, 단열 성능이 안 좋아서 2시간이라고 하면 매시간 1/2씩 쑥쑥 열이 빠져나가는 성능이라고 볼 수 있습니다. 그럴듯해 보이시나요?  

그래서 단열 성능을 주어진 시간에 온도가 달라지는 속도로 표현할 수 있습니다. 따라서, 단열재의 성능은 단위 시간당 얼마의 비율로 달라지는지를 보여주는 감소 비율(1/Hour)로 표현할 수 있습니다. 그래서 [℃] 단위를 쓰는 저량인 실내 온도와 [1/Hour] 단위를 쓰는 감소 비율을 곱하면 [℃/Hour] 단위를 쓰는 열손실량(Outflow)이 결정됩니다. 

이제 위 시뮬레이션에서 난방 효과? 단열 효과 버튼을 클릭해서 단열 성능을 바꿔가면서 결과를 비교해 보세요.